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2019年-微分方程09615-PPT课件-PPT精选文档_图文


第十二章
微分方程

一、知识网络关系图
一阶方程 类型 1.可分离 变量方程 2.齐次方程 3.线性方程 4.伯努利方程 5.全微分方程

基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法

高阶方程 可降阶方程

线性微分
方程 解的结构

待 定 系 数 法

特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其 特解形式

欧拉方程











一阶显示微分方程的初等积分法
五种类型: dy ? dx 2? 齐次方程:

?

y ( ) x
x? b y? c dy a 1 1 1) ?f( dx a x? b ? c 2 2y 2

y (令 u ? ) x

准齐次方程:

a 1a 2 2 2 其中 ? ? ? 0 ,c ? c ? 0 . 1 2 b 1b 2











a x? b y? c 0 , ? 1 1 1? ? a x? b y? c 0 , ? 2 2 2?
解法: 先求交点:

( ? , ?)
?x ? X ?? ? ?y ?Y ? ?

dy 再作变换: ? P ( x )y ? Q ( x ) dx

可将该准齐次方程化为关于Y, X的齐次方程.











P ( x ) dx ? P ( x ) dx ? ? ? e [ Q ( x ) e dx ? C ] 3? 线性方程: y
0 y ? e 通解: x x P ( t ) dt ? x

?

[ Q ( t ) e0 ?
x 0

t ? P ( s ) ds ? x

dt ? y ] 0

—— 常数变易公式 满足初始条件 y(x0) = y0的特解:

dy n ? P ( x ) y ? Q ( x ) y dx











4? 伯努利方程:

1 ? n (令 z?y ,化为 z的线性方程 )

dy 2 ? P ( x ) y ? Q ( x ) y ? f ( x ) dx

黎卡提方程:

(若已知其一个特解 y1(x))

( 令 z ? y ? y ( x ) ,化为 z 的 n ? 2 的伯努利 ) 1

M ( x , y ) dx ? N ( x , y ) dy ? 0











u ? u ( x , y ), 使 5? 全微分方程: ? ( 恰当) d u ( x , y ) ? M ( x , y ) dx ? N ( x , y ) dy ( x , y ) ? G
? M ? N ? , ( x ,y ) ? G ? y ? x

其中 G 为一单连通区域 .

(1) 判别法 (2) 求解法

关键:求 u (x, y).
? ? ? ( x , y ) ? 0 ,使











常用的方法有三种: ① 特殊路径法 ② 分项组合法 ③ 偏积分法 小结 求解一阶微分方程的基本路径有两条: 目标 (1) 变量变换法 变量分离方程 (2) 积分因子法 全微分方程











积分因子: M ( x , y ) dx ? N ( x , y ) dy ? 0 为恰当方程.

? ?

找 ?的方法:

M (x ,y ) dx ? N (x ,y ) dy ? 0 有积分因子 ? ? ? (x ) ① 分项组合法
② 公式法
1 ? M? N ( ? ) ? ( x ), 且 N? y ? x

?

?

? ( x ) dx ? ? ( x ) ? e .

若函数 f (x ),g (x ) 满足条件 f ?(x )?g (x ), ?(x f (x ) ? ?g ), f (0 ) ?0 ,g (x ) ?0 ,求由曲 线y ? f (x ) 1 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g (x ) 4











可降阶微分方程

1. y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z?y
(n ? 1 )

dz ),因此 , 则 ? y(n)?f(x dx z ? x ) d x ? C ?f( 1



( n ? 1 ) y ? f ( x ) d x ? C ? 1

( n ? 2 ) ? ? 同理可得 y ? d x ? C x ) d x ? C ? ?f( 2 1

? C x ? C ? ? d x 1 2 ? ? f (x)dx?
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .

2. y? = f (x, y?) 型的微分方程
?? ? ?? ? p ( x ) ,则 设 y y p ,原方程化为一阶方程

?? p f ( x ,p )

设其通解为

p ? ? ( x , C ) 1

则得

? y ? ? ( x , C ) 1
y ? ? ( x , C ) d x ? C 1 2 ?

再一次积分, 得原方程的通解

3. y? = f ( y, y? ) 型的微分方程
dp d p d y d p 令y ?? p ( y ), ? p ? ? 则 y?? ? dy dx d y d x dp 故方程化为 p ? f ( y, p) dy 即得 ? ? ( y , C ), 设其通解为 p 1

? y ? ? ( y , C ) 1

分离变量后积分, 得原方程的通解 d y ?x? C 2 ??(y,C ) 1

常系数线性微分方程(组)的解法
1. 常系数齐次线性方程
若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 , g (x ) ?0 ,求 由 曲 线 y? f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面 . 积 g (x ) 4

n n ? 1 特征方程: r ? a r ? ? a r ? a ? 0 1 ? n ? 1 n

特征方程的根
若是 k重根 r
线 y?

通解中的对应项
若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 , g (x ) ?0 ,求由曲 f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面积 . g (x ) 4

若是 k 重共轭 复根 r ? α ? iβ

y ? C y ? C y ? ? ? C y 1 12 2 n n
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注意: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各

一个任意常数.
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2. 常系数非齐线性方程

二阶常系数非齐次线性方程:
? ? ? y ? p y ? qy ? f ( x )( 1 )

对应齐次线性方程:
? ? ? L [ y ] ? y ? p y ? q y ? 0 ( 2 )

其中 p ,q均为实常数 .
? y ? Y ? y , 由线性微分方程解的结构定理知,求 (1) 分析 (1)的通解结构: 的通解的关键是求与(1)对应的齐次线性 方法:待定系数法 . 如何求 (1) 的特解? 方程 (2) 的通解Y 及 (1)的一个特解y*.











类型1

? x f ( x ) ? P ( x ) e m

m m ? 1 其中 P ( x ) ? a x ? a x ? ? a x ? a , m 0 1? m ? 1 m

? , a ( i ? 1 , 2 , ? , m ) 均为常数, a ? 0 . i 0
m

方程(1)必有如下形式的特解: ? k ? x y ? x Q ( x ) e
m m ? 1 其中 Q ( x ) ? b x ? b x ? ? ? b , m 0 1 m

b i? 1 , 2 , ? ,m ) 均为待定常数, i(
由方程 ( 1 ) 所确定 ;k 的取法如下:

? k

非特征根 特征单根 特征重根 0 1 2

推导如下:
设非齐次线性方程(1)的特解为
? ? x y ? Q ( x ) e

? ? x ? x ? ? 则 ( y ) ? Q ( x ) e ? Q ( x ) ? e

? x ? ? [ Q ( x ) ? Q ( x )] e

?

?

? 2 x ? ? ? ? ? ( y ) ? [ Q ( x ) ? 2 Q ( x ) ? Q ( x )] e

???

x的待定 多项式

代入方程(1), 得

特征多项式 F (r ) ? r 2 ? pr ? q F ?(r ) ? 2r ? p

? ? ? ? ? ? ? L [ y ] ? ( y ) ? p ( y ) ? qy

x 2 ? ? ? ? e [ Q ( x ) ? ( 2 ? p ) Q ( x ) ? ( ? p ? q ) Q ( x )]

?

? ? ?

? x ? P ( x ) e m
? ? y 是方程 ( 1 ) 的解 ?

2 ? ? ? Q ( x ) ? ( 2 ? p ) Q ( x ) ? ( ? p ? q ) Q ( x ) ? P ( x ) m

? ? ?



? ? ? ? Q ( x ) ? F ( λ ) Q ( x ) ? F ( λ ) Q ( x ) ? P ( x ) ( 3 ) m

? ? ? ? Q ( x ) ? F ( λ ) Q ( x ) ? F ( λ ) Q ( x ) ? P ( x ) ( 3 ) m

(1) 若?不是特征方程的根,
2 F ( ) ? ? p ? q ? 0 ,

?? ?

m m ? 1 可设 Q ( x ) ? Q ( x ) ? b x ? b x ? ? b , m 0 1? m

代入 ( 3 ) 式 ,对比两端 x 同次幂的系数 :
m ( ) b ? a ( x ) ? F 0 0 ? m ? 1 ? F ? ( ) b ? F ( ) ? b m ? a ( x ) 1 01 ? ? ? 0 ?? F ? ( ) b ? F ( ) ? b ? 2 b ? a ( x ) m m ? 1m ? 2 m

?? ??

?

? F ( ? ) ? 0

?b ,b ,? ,b 可由此方程组唯一 , 0 1 m
即可确定 Q ( x ). 此时, k ? 0 , m
? λ x 方程 ( 1 ) 有特解: y ? Q ( x ) e ; m

(2) 若 ?是特征方程的单根, 2 F ( ) ? ? p ? q ? 0 ,

?? ? ? F ( ? ) ? 2 ? ? p ? 0 ,

? ? ? ? ? ? ? ? Q ( x ) ? F ( ) Q ( x ) ? F ( ) Q ( x ) ? P ( x ) ( 8 . 3 ) Q ( x ) ? F ( λ ) Q ( x ) ? 0 ? P ( x ) ( 3 ) m m

??

m m ? 1 ? 取 Q ( x ) ? B x ? B x ? ? B ( B ? 0 ) 0 1? m 0
m ? 1m 则 Q ( x ) ? b x b x ? ? ? b x ? b 0? 1 m m ? 1

为了求方程 ( 1 ) 的特解,可取 b ? 0 m ? 1
此时, k ? 1 . 方程 (1)有如下形式的特解:
? ? x y ? xQ ( x ) e ; m

m m ? 1 可设 Q ( x ) ? x ( b x ? b x ? ? ? b ) ? xQ ( x ), m 0 1 m

(3) 若 ?是特征方程的重根,

2 ? F ( ) ? ? p ? q ? 0 ,F ( ) ? 2 ? p ? 0 ,

?? ?

??

2 ? 2 ? x 可设 Q ( x ) ? x Q ( x ), y ? x Q ( x ) e . m m

综上所述: 方程 (1)的特解可设立为: 不是特征根 ?0, ? ? k ? x ? y ? x Q ( x ) e , k ? , ? 是特征单根 , ?1 m ?2, ? 是特征重根 ? 注 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性 微分方程(k 是重根次数).

? ? x k ? x y ? Q ( x ) e ? x Q ( x ) e 是方程 m
( n ? 1 ) ? F ( ? )( F ( ? ) ( n ) n ? 1 ) ? Q( x ) ? Q ( x ) ? ? ? Q ( x ) ( n ? 1 )! 1 ! ? F ( ? ) Q ( x ) ? P ( x ) m

( n ) ( n ? 1 ) ? x ? y ? p y ? ? ? p y ? p y ? P ( x ) e 1 n ? 1 n m的

? x f ( x ) ? e [ P ( x ) cos x ? P ( x ) sin x ] 类型2 l n
多项式 ;? , ? 为实常数 .
方程(1)必有如下形式的特解:

?

?

其中 P x ), P ( x ) 分别是 x 的 l 次和 m 次实系 l( n

?k ( 1 ) ( 2 ) x y ? x [ R ( x ) cos x ? R ( x ) sin x ] e m m 其中 k的取法如下:

?

? ?

?= ? +i ? 非特征根 k 0

特征根 1

( 1 ) ( 2 ) m ? max{ l , n }. R ( x ), R x ) 为 x 的待定多项式, m m(

引理 若 y ? ? ( x ) ? i ? ( x ) 是方程

? ? ? y ? p y ? qy ? u ( x ) ? iv ( x )( p , q 为实 )

的解, u ( x ), v ( x ), ? ( x ), ? ( x ) 均为实函数

? (x ), ? (x ) 分别是方程
? ? ? y ? p y ? qy ? u ( x )

? ? ? 和 y ? p y ? qy ? v ( x ) 的解 .

推导类型 2 结论的思路:

将类型 2 转化为类型 1 的情形 .



欧拉方程
形如

n ( n ) n ? 1 ( n ? 1 ) ? x y ? p x y ? ? ? p x y ? p y ? f ( x ) ( 8 . 5 ) 1 n ? 1n

,p ? p 的方程(其中 p 为实常数) 叫欧拉方程. 1 2 n
特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同.

解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变
量代换可化为常系数微分方程.

作变量变换

t x ? e 或 t? ln x ,

将自变量换为 t ,
d y d y d t 1 d y ? ? , d x d td x x d t
2 2 ? d y 1? d y d y ? ? ? ? , 2 2? 2 d ? t? d x x ?d t
3 3 2 ? ? d y 1 d y d y d y ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 , 3 3 3 2 ? ? d t d x x d t d t ? ?

d 用D 表示对自变量 t 求导的运算 , d t 上述结果可以记为
??Dy x y ,

2 d y dy 2 ? 2 2y?Dy x y? ? 2 ? ?D ? (D ?D )y ? D ( D ? 1 ) y , d t d t

3 2 d y d y d y 3 ? ? ?? 3? xy 3 2? 2 d t d t d t
3 2 ? ( D ? 3 D ? 2 D ) y ? D ( D ? 1 )( D ? 2 ) y ,

? ?

k ( k ) 一般地,x y ? D ( D ? 1 ) ? ( D ? k ? 1 ) y . 将上式代入欧拉方程,则化为以 t为自变量 的常系数线性微分方程:

D ( D ? 1 ) ? ( D ? n ? 1 ) y ? p D ( D ? 1 ) ? ( D ? n ? 2 ) y 1
t ? p Dy ? p y ? f ( e ) ( 8 . 6 ) n ? 1 n 求出这个方程的解后,

把 t换为 lnx, 即得到原方程的解.

注 与(8.6)对应的齐次线性方程的特征方程为:
r ( r ? 1 ) ? ( r ? n ? 1 ) ? p r ( r ? 1 ) ? ( r ? n ? 2 ) ? 1 ? ? p r ? p ? 0 n ? 1 n ( 8 . 7 )

二、常考题型
题型1 基础题

例1 填空题 1 . 已知 y ? y ( x ) 在任意点 x 处的增量 yΔ x Δ y? ?α 2 1?x π π e4 . 其中 α ? o ( Δ x ) ( Δ x ? 0 ), y ( 0 ) ? π ,则 y ( 1 ) ? __
分析 本题并不知?具体等于什么,故无法直接 由上式算出 y(1). d y Δ y y α ? 2 解 依题设,有 ? lim ? lim ?? x ? 0 x ? 0 d xΔ Δ xΔ x 1 ? xΔ
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dy y ? d x 1? x2

可分离变 量方程

dy dx y ? arctan x ? c ? y ? ?1? x2, ln
由 y ( 0 ) ? π ,得 c ? ln π
arctan x ? y?π e

从而 y ( 1 ) ? π e

arctan 1 4

? π e .

π











2.

x y? . ________ 1 ? ln x


设 f (x)具有连续的一阶导数, 且满足

这是齐次方程. y ?? ? 令 u ?,则 y u ? x u x 13 ?? 代入原方程,得 u ?x u u ? u 2 d u dx 1 x 2 ?2 ? , ? ln x ? c , ? ? ? lnx ?c ? u3 ? x u2 y 由 y ? 1 , 得 c ? 1 x ? 1
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x? 3 x y? C e C e 3. 通解为 1 2 的微分方程 ? ? ? y ? 4 y ? 3 y ? 0 . 是————————————



特征根: r ? 1 ,r ? 3 1 2

特征方程: ( r ? 1 )( r ? 3 ) ? 0 ,
2 即 r ? 4 r ? 3 ? 0 .

? ?? ?? ? 所求微分方程是: y 4 y 3 y ? 0











类似题

下列微分方程中,以
x y? C e C cos 2 x ? C sin 2 x 1 ? 2 3

D ). ( C , C , C 为任意常数 ) 为通解的是 ( 1 2 3

? ? ? ? ? ? ( A ) y ? y ? 4 y ? 4 y ? 0 . ? ? ? ? ? ? ( C ) y ? y ? 4 y ? 4 y ? 0 .

? ? ? ? ? ? ( D ) y ? y ? 4 y ? 4 y ? 0 .
n 对y ? ? a 求一、二阶导数: nx n ? 0 ?











4. 以 y?2 excos 3x 为一个特解的二阶常系 数 ? ? ? y ? 2 y ? 10 y ? 0 齐次微分方程为 ________________ . 解 特征根:r 1 ? 3 i 1 ,2?
2 即 ( r ? 1 ) ? 9 ? 0
2 r ? 2 r ? 10 ? 0

特征方程: [ r ? ( 1 ? 3 i )][ r ? ( 1 ? 3 i )] ? 0

所求方程为: y ? ? ? ? 2 y ? 10 y ? 0











2 以函数 y ? C sin x ? C cos 2 x 为通解 5. 1 2 ? ? ? (sin 2 x ) y ? ( 2 cos 2 x ) y ? 0 ______________________ , 的微分方程是

其中C1,C2为任意常数. 解
2 y ? C sin x ? C cos 2 x 1 2 1 ? cos 2 x ? C ? C cos 2 x 1 2 2 C C 1 1 ? ? ( C ? ) cos 2 x 2 2 2 C C 1 1 ? ? ?? y ? ? 4 ( C ? ) cos 2 x y ? 2 ( C ? ) sin 2 x , 2 2 2 2











? ? ? 6. 微分方程 y ? 4 y ? 4 y ? 8 的通解
? 2 x y ? ( C ? C x ) e ? 2 1 2 ___________________ .

2 解 特征方程:r ? 4 r ? 4 ? 0

特征根: r 2 1 ,2 ??
? 2 x 对应齐次线性方程的通 解:Y ? ( C ? C x ) e 1 2

原方程有特解: y ??2











? ?? ?? y y x ? sin x 的特解 7. 微分方程
x ( Ax ? B ) ? 可设立为 ( C cos x ? D sin x ) __________________________ .
2 解 特征方程: r ? r? 0

特征根: r ? 0 ,r ? ? 1 1 2
对应于 f ( x ) ? x , 1 ? 0 是特征单根, k? 1 ; 1?

对应于 f ( x ) ? sin x , 2

? i不是特征根, k? 0 . 2?
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2 2 x 2 8 . 已知 y ? x , y ? x ? x , y ? e ? x 都是 1 2 3

2 ? ?? ??y? 方程 (x ? 1 )y x y ? x ? 2 x ? 2 的解, x 2 y ? C x ? C e ? x . ______________________ 1 2 则此方程的通解为

? ? ?? ? ?? ?? 9 . 三阶常系数微分方程 y a y b y cy ? 0
x -1 b?___, ___, 0 c 有两个解 e 和 x , 则 a ? ____. 0 ?

y? x 是该方程的解,得 解由 b ? cx ? 0

? b ? c ? 0 x x 由 y ?ex是该方程的解,得 e ? ae ? 0
? a ? ? 1
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例2 选择题

1 .函数 y? C ? sin x ( 其中 C 是任意常数 ) 2 d y 是微分方程 ? sin x 的 ( C ). 2 dx
(A) 通解 (B) 特解

(C) 是解,但即非通解也非特解 (D) 不是解











2. 若连续函数 f ( x)满足关系: 2x t f ( x) ? ? f ( )dt ? ln2 0 2 则 f ( x) ? ( B ).
x ( A ) e ln 2 x ( C ) e ? ln 2 2 x ( B ) e ln 2 2 x ( D ) e ? ln 2

解 f ( 0 ) ? ln 2 , f ? ( x ) ? f ( x ) ? 2

?0

xdf (x )

f ( x ) ? ln f ( 0 ) ? 2 x ?? 2 dx , ln f(x ) 0 2 x ? f ( x ) ? e ln 2
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x

3 .已知曲线 y? y (x ) 上点 M (0 ,4 )处的切线 垂直于直线 x?2y?5?0且 y (x ) 满足 ???2y ??y?0 微分方程 y ,则此曲线的 方程是 y?(A ). 9 ? ? x ( A ) 2 ( 2 ? x ) e ( B ) ( 4 ?x ) ex 2 9 x ? x ( C ) ( C ? C x ) e ( D ) xe 1 2 2 2 解 特征方程: r ? 2 r ? 1 ? 0 , 特征根 r ? ? 1 1 , 2 ? x 通解: y ? ( C ? C x ) e 1 2 ? C ? 4 , C ? 2 . 由 y ( 0 ) ? 4 ,y ( 0 ) ? ? 2 ,知 1 2
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题型2 例3

与导数定义有关

1 1 f( x ? hx )h x ? ?? lim e h ? 0 f( x ) 1 f(x? hx )h ? ? ? lim
h ? 0

f(x )

f ( x ) f ( x ? hx ) ? f ( x ) ? f ( x ? hx ) ? f ( x )f ? hx ) ? f ( x ) hxf ( x ) ? ?(x ? lim 1 ? h ? 0 f ( x )

? ?

? ?

x

dx 1 ? ?x? y 解 dy y

(1 ? )

?e

x f ?( x) ? f ( x)
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已知 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内可导, f ( x ) ? 0 ,
x ? ??

lim f ( x ) ? 1 , 且满足:
x f?(x) f (x)
1 ?ex

?e

可分离变 量方程

x f?(x ) 1 故 ? f?(x ) f (x ) x

f (x )

1 ? 2 x
1 ? f(x )?e x.

1 ln f( x )? ? ? ln c , x

?

d x? d x ,

?

由 lim f ( x ) ? 1 , 得 c ? 1 dyy 1y3
x ? ??
?1 f (x ) ?ce x,

? ? ( ) 满足 y ? 1 的特解为 x ? 1 dxx 2x











类似题
( 2007 ) ( 2 ) 将 f ( x ) 展开成 ( x ? 1 ) 的幂级数,并求 f ( 1 ). 对任意
h x [ f ( x ) e ? f ( h ) e ] ? f ( x ) ? lim h h ? 0

h e ? 1 f ( h ) ? f ( 0 ) x ? lim [ ? f ( x ) ? ? e ] h h ? 0 h
若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 ,g (x ) ?0 ,求由曲 线 y? f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面积 . g (x ) 4

n ? 1 n ? a e t ? n ! n ? 0

?

x ? 即 f ( x ) ? f ( x ) ? a e

x , y ? ( ?, ? ?), ? 满足











证(1) 依题设,由

h x (e ? 1 ) f ( x ) ? [ f ( h ) ? f ( 0 )] e ? lim h h ? 0

y x f ( x ? y ) ? f ( x ) e ? f ( y ) e ,

? f ( x ? y ) ? f ( x ) e ? f ( y ) e ,f ( 0 ) ? a

y

x

? 且 f ( 0 ) ? a ( a ? 0 ), x ? 知 f ( 0 ) ? 0 . ? 1 ?f ( x ) ? f ( 0 ) e
x x ? ( ? 1 ) d xx x ( ? 1 ) d x ? ? 0 0 f ( x ) ? e [a e e d x ? 0 ] 0

f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ?
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f ( x ? h ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? lim h h ? 0

—— 一阶非齐次线性方程 由常数变易公式,得

令 t? x ? 1
n t ? ae( t ?1 )? n ! n ? 0 ?











解(2)
?

? 1 tn tn ? a e( ? ) ?n ? ! n ! n ? 0 n ? 0

?

?

x x ? e ( a x ) ? ax e . ?d 0

x

? ? n n n ? 1 t t) n a e( ? ? a e (x? 1 ) ,? ? ? ?n ( n ? 1 )! n n ! ! n ? 1 ? 0 n ? 0

?ae( t?1 )e
??
n ? 0 ?

1 t ?a e[ 1 ? [ ?

1n ? ] t ( n ? 1 )! n ! n ? 1

?

x ? ( ?? ,?? ).
f
(n )

f(x )?ax e? a ( t? 1 ) e
?

x

t? 1

( 1 ) n?1 n n (x ? 1 )1?? ? a e[ 1 )证明:对任意 x ? ( ?? ,?? ), f?( x ) 存在, t ]( n ! n ! n ? 1
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? 1 tn tn ? a e( ? ) ?n ? ! n ! n ? 0 n ? 0

?

?

n?1 n ?ae[ 1?? 1 )证明:对任意 x ? ( ?? ,?? ), f?( x ) 存在,并 t ]( n ! n ? 1

?

f

(n )

( 1 ) n?1 ?ae n ! n !

由展开式的唯一性,得

( n ? 0 , 1 ,2 , ? )
( 2007 ) ? f ( 1 ) ? 2008 a e .

若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 , g (x ) ?0 ,求由曲 线 y? f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面积 . g (x ) 4











题型3

与求导法有关
x

例4 设 f ( x)满足:

f( t ) d t?f( x ) ? 1 , ? 2 1t? f( t ) 且 f(x ) 可导,求 f(x ).

解 令 x ? 1 , 得 f ( 1 ) ? 1 , d f(x ) “ ”: ? f?(x ) 2 dx x? f (x )

y 令 y ? f( x ),则 ? ?y ,y ( 1 )? 1 2 x ? y dx 1 ? ? x ? y 关于x为线性方程 dy y


关于y非线性









1 .设 f(x ), g (x ) 满足 f?(x )?g (x ), ?(x g )?2 ex?f(x ), 且 f(0 )?0 , g (0 )?2 , 求 f(x ) 及 I?

??1?x?(1?x) ?dx.
0 2

πg (x )

f(x )

通解:x ? e

1 ? ( ? d y ? ) y

[ y e ?

1 ? y ?d y

d y ? C ]

1 ? y[? y? dy?C ] ? e[ y e d y ? C ] ? y
ln y ? ln y

? y ( y ? C )
2 y? x ? x ? y ,即 由 y ( 1 ) ? 1 , 得 C ? 0

故所求 f ( x ) ?x .











类似题
2 2 2 ? f ( x ) ? ( x ? t ) f ( t ) d t ? x , ? 0 x

求f (x) 的表达式 .
? f ( x ) ? 2 xf ( x ) ? 2 x ,f ( 0 ) ? 0
答案:
f ( x ) ? e
2 x

? 1 .

? ? ? ? ( B ) y ? y ? 4 y ? 4 y ? 0 .











例5 设 f (u,v)具有连续偏导数,且满 足

? ? f ( u , v ) ? f ( u , v ) ? uv u v
并求其通解 .

? 2 x 求 y (x )?e f(x ,x ) 所满足的一阶微分 ,



? 2 x ? y ( x ) ? ? 2 e f ( x ,x ) ? ? 2 x ? ? e ? [ f ( u , v ) ? 1 ? f ( u , v ) ? 1 ] u ? x u v v ? x

? 2 x 2 ? ? 2 y ( x ) ? e ? x

? 2 x 2 ? 即 y ? 2 y ? e ? x 一阶非齐次线性方程











? 2 x 2 ? y ? 2 y ? e ?x

由常数变易公式,得
? 2 d x 2 2 d x ? 2 x ? ? y ? e ( x e e d x ? C ) ?
? 2 x 2 ? e ( x d x ? C ) ?

3 x ? 2 x ? e ( ? C ) ( C 为任意常数 ). 3











类似题
2 2 2 1 .设 f具有二阶连续偏导数, r? x ?y ? z , 若 div [gradf ( r )] ?0 ,求 f( r ).

? f? f? f gradf ( r )? { , , } 解 知识点: ? x ? y ? z ① 梯度;② 散度; x ? f ? r ③ 多元复合函数求导; ? ?f? ( r )? ? f ?(r ) ? r ? x ? x ④ 可降阶微分方程 . ?f ?r y ? f ?(r)? ? f ?(r ) ? ?y ?y r

? f ? r z ? f ?(r)? ? f ?( r ) ? ? z ? z r
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x y z ? gradf ( r ) ? ? ? ? { f ( r ) ? ,f ( r ) ? ,f ( r ) ?} r r r P Q R ? ?P ?Q ?R A?{P,Q ,R } ? div [ gradf ( r )] ? ? ? ? P ? Q ? R ?x ?y ?z div A? ? ?

x ?[ f ?(r) ? ] ? ? f ( r )x ?x ?P r ? ? ? ? f ( r ) ? () ? ? x r ? x r ?x ?x
? r r? x x2 ? x ? ?f? ( r )( ) ?f? ( r ) ? 2 r r

? x

? y

? z

2 x 1 x 2 ? ? ? ? f ( r )( ) ? f ( r )( ?3 ) r r r
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y ?[ f ?( r ) ? ] 2 y 1 y ? Q 2 r ? 同理 ? ? ? f ( r )( ) ? f ( r )( ?3 ) ? r r r ?y ?y z ?[ f ?(r ) ? ] 2 z 1 z ?R 2 r ? ? ? ? f ( r )( ) ? f ( r )( ?3 ) ? r r r ?z ?z
?P ?Q ?R 2 ? ?f??(r )? f?(r ) div [ gradf ( r )] ? ? ?x ?y ?z r
若 div [ gradf ( r )] ? 0 ,则 2 ? f? ( r )? f? ( r )? 0 r
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2 ? f? ( r )? f? ( r )? 0 r dp 2 ? 令 p ? f ( r ),则 ? ? p dr r 可分离变量方程 dp 2 p ? ? 2 ln r ? ln C 1 ? p ? ? ? r dr, ln

C1 f ?(r) ? 2 r C 1 1 ? ?C ?C2. ? f(r)?? 2dr r r
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C1 p? 2, r

2 .已知 u? u (x2 ? y2)有连续二阶偏导数,且 ?2u ?2u 2 2 满足方程 ? ? ( x ? y )u , 试求 u . 2 2 ? x ? y
12 2 12 2 ( x ? y ) ? ( x ? y ) 2 2 答案:u ? C e ? C e . 1 2

3 .已知 u? u ( x2 ? y2)有连续二阶偏导数, ?2u ?2u 2 2 满足方程 ? ? x ? y , 试求 u . 2 2 ?x ?y
1 2 2 2 ? ? ? ( r ) ? u ( r ) ? r ( r ? x ? y ) 答案:u r 2 2 2
2 2

( x ? y ) u ? C ? C ln( x ? y ) ? . 1 2 16
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x f(u ) 具有二阶连续导数,而 z? f( e sin y ) 4. 设 2 2 ? z ? z 2x 满足方程 ? 2 ?e z , 求 f(u ). 2 ? x ? y

x 解 知识点: 令 u ? e sin y ,则 ① 多元复合函数求偏导数 ? z ②二阶常系数齐次线性微分方程 ?u x ?f? ( u ) u ? f ?( u) ? ? ? f ( u ) e sin y ?x ?x

d ? u ? ?2z ? ? z ? ?(u ? [ f ( u ) u ] ? ? [ f ) u ] ? ( ) 2 du ? x x ? x ? x? x ? ? ? ? ? [ f ( u ) ? u f ( u )] ? u











?z ?u x ? f ?( u ) ? ? ? f ( u ) e cos y ?y ?y

?2z ? ?z ? x ? ? ( ) ? [ f ( u ) e cos y ] 2 ?y ?y ?y ? y ? ? f ( u ) x x ? ? ? e cos y ? f ( u ) ? ( ? e sin y ) ? y x 2? ? ? ? f ( u ) ? ( e cos y ) ? f ( u ) ? ( ? u )
若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 , g (x ) ?0 ,求 由 曲 线 y? f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面 . 积 g (x ) 4

若函数 f (x ), g (x ) 满足条件 f? (x )?g (x ), ? f (x ) ?? g (x ), f ( 0 ) ?0 , g (x ) ?0 ,求 由 曲 线 y? f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面 . 积 g (x ) 4













2 x 2 x ? ? f ( u ) e ? e f ( u )
若函数 f(x),g(x)满足条件 f?(x)?g(x), f(x)??g?(x), f(0)?0, g(x)?0,求由曲 ? f(x) 1 ? 线y? 与y?0,x? π所围成的面积 . g(x) 4

2

z
2

y

?

f(u)e?uf(u)?uf?(u)
代入

2 x 2 ? ?

2 2 ? z ? z 2 x ? ? e z , 2 2 ? x ? y



z ? f ( u )

? ? f ( u ) ? f ( u ) ? 0

? u u 解得 f ( u ) ? C e C e . 1? 2
2 2 2 [ x ? ( y ) ? ? ( y )] dx ? [ x ? ( y ) ? 2 xy ? 2 x ? ( y )] dy ? 0 ? L











例6

(1 )试将 x?x(y)所满足的微分方 :
变换成 y?y(x)满足的微分方程 ;
(03年考研)
(2 )求变换后的微分方程满 足初始条件 :

2 d x dx 3 ? ( y ? sin x )( ) ? 0 2 dy dy

3 ? y ( 0 ) ? 0 ,y ( 0 ) ? 的解 . 2

由反函数求导公式,知











2x d dx d 解(1) 知识点: ? ? 2? ( ) dy dy dy ① 反函数,复合函数求导法 ?? dx y d 1 d 1 dx ? ? ② 二阶常系数非齐次线性方程 ( ) ? ( )? ? ? 2 ( y?) dy dy y? dx y? dy
dx dy 1 y ?

得 代入方程 变换成 y?y(x)满足的微分方程 ; ? ? 即 y ? y ? sin x
? y 1 ? 3? (y ? sin x )?( )3? 0 ?) ? (y y
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y ?? ? ? ( y?) 3

(2 )
? ?y?0 y
特征方程:

① ②

2? x ? x 特征根: r 1Y r 1 ? 0 , 1 ,2?? ? C e ? C e 1 2

②的通解为

??i不是特征根, k?0

可设立的特解为
? , B? ? ①x y ? A cos ? B sin x A?0

代入①,得

?

1 ? y ?? sin x 2

1 2

从而方程 的通解为











x ? x y ? C e C e ①? 1 2
? 1 sin x 2

C ? C2 ? 0 ? ? 1 ?C ? C ? 1 ? 3 2 ? ? 1 2 2

3 由 y(0)?0 ,y?(0)? ,得 2

? C ? 1 , C ? ? 1 1 2

故所求初值问题的解为

x ? x y ? e ? e

3 用变量代换 x?cos t(0?t??)化简微分方程 由 y(0)?0 ,y?(0)? ,得 2
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类似题
?x y ? 1 ,y ? 2 的特解 . (05年考研) x ? 0 ? 0
? ? y dy dy ? ? dx dt 1 dx dt

2 ? ? ? ( 1 ? x ) y ? x y ? y ? 0 ,

并求其满足
2 d y d dy d dy 1 ??? 2? ( )? ( )? y dx dtdx dx dx dx dt



1 dy ?? sint dt

dy 1 dy ? ? dx sin t dt
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dy 1 dy ? ? dx sin t dt 2 cos t dy 1dy 1
? ( 2? ? ) ? ( ? ) 2 tdt sin t sin t dtsin
2

1 d y cos t dy ? 2 ? 3 ? 2 sin t dt sin t dt

将y,y?d ,y?代入原方程,得 1 dy 1
2 1 d y cos t dy ? ?? y ? ? 2 2 3 sin t dt sin t dt

? ( ? )?( ? ) dt sin tdt sin t













2 d y ? y? 0 2 dt

其特征方程为
2

r? 1 ? 0 ? y ? 1 ,y
x ? 0
2 1 d ycos tdy 1 dy sin t ? (2 2 ? ?) ? cos t ? ( ? ) ? y ? 0 3dt sin t dt sin t dt sin t

2

特征根:

y ? C cos t? C sin t 1 2

于是此方程的通解为

1 dy ? ?? y 从而原方程的通解为 sin t dt
线y ?

x ? cos t

r? ? i

x ? 0

? 2 的特解 .

2 y ? C x ? C 1 ? x 1 2
若函数 f (x ),g (x ) 满足条件 f ?(x )?g (x ), ?(x f (x ) ? ?g ), f (0 ) ?0 ,g (x ) ?0 ,求由曲 f (x ) 1 与 y ?0 , x? π 所围成的面积 . g (x ) 4











题型4

与积分法有关

例7 设 f ( t ) 连续,且

f ( t ) ? 3

t? 0 ,求 f ( t ).

2 3 f ( t ) ? 3 d d f ( r ) ? r sin dr ? t 解 ? ??
2 3 ? 6 ? sin ? d ? r f ( r ) dr ? t ? ? t 0 0 ?t

? ? 0 0 0
2 t

? ?
?

2 2 2 2 x ? y? z? t

2 2 2 3 f ( x ? y ? z ) dV ? t , ???

?

0 2 2 ? f ( t ) ? 12 t f ( t ) ? 3 t , f ( 0 ) ? 0
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2 3 ? 12 ? r f ( r ) dr ? t ?

2 3 ? 6 ? ( ? cos ? ) ? r f ( r ) dr ? t 0?
t

0

?

一阶线性方程

f ( t ) ? e

t t 2 2 t 12 t dt ? 12 t dt ? ? 2 0 0

?

[ 3 t e ?
0
3 2? 4 ? t

?

dt ? 0 ]

? e

3 4 ? t

??3 te
0

t

dt

3 1t ? 4 ? t 3 ? e ? [ ? ?e d ( ? 4 ? t )] 0 4 ? 3 3t 1 ? 4 ? t 4 ? t ? e ? [ ? e ] 4 ? 0 3 3 1? 1 1 4 ? t3 4 ? t 4 ? t ? 1 ) ? e ? [ ? e ? ]? (e ? 4 ? 4 ? 4 3 4 ? t











例8 设

? P ? Q 由 ? ,得 ? y ? x
2 解 知识点: ① 曲线积分与路径无关的条件; 2 ? ? 即 x [ ( y ) ? ( y )] ? [ ( y ) ? ( y ) ? y ] ? ② 二阶常系数非齐次线性微分方程 .0 2 ? ( x ,y ) ? R

其中 L 为平面上任意一条封闭 曲线, ? , ? 有二阶导数, ? ( 0 )? 0 , ? ( 0 )? 1 ,试确定 ? (y ) 和 ? (y ).

? ? 2 [ x ? ( y ) ? ? ( y )] ? 2 x ? ( y ) ? 2 y ? 2 ? ( y )


? ? ? ?
? ? ”: ? x










? ( y ) ? ? ( y ) ? y ? 0 ?(y ? )? ? (y )? 0?
2

? ? ? ? ( y ) ? ? ( y )

2 2 ? y ? ? ( y ) ? ? ? ( y ) ? ? ( y ) ? y ( 1 )

可求得 (1 )之通解:
2 ? ( y ) ? C cos y ? C sin y ? y ? 2 1 2

由 ( 0 ) ? 0 , 得
C ? (0 )? 1 ,得 1 ? 2由
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?

? ? ? ( y ) ? ? 2 sin y ? C cos y ? 2 y ? ? ( 0 ) ? ? ( 0 ) ? 1 2

?C 1 2?

? ? ( y ) ? ? ( y ) ? ? 2 sin y ? cos y ? 2 y
1 . 若对平面上的 封 任 闭 何 曲 L , 简 线 恒 单 有
2 2 4 2 xyf ( x ) dx ? [f ( x ) ? x ] dy ? 0 ? L

2 ? ? ( y ) ? 2 cos y ? sin y ? y ? 2











类似题

其中 f(x)在 (?? ,?? ) 内有连续的一阶导 且 f(0)?2 , 试确定 f(x).
? P ? Q 由 ? ,得 ? y ? x


2 xf ( x ) ? f ( x ) ?2 x ? 4 x
L

2 ?2

2 3令 u ? x ,

x ? f ( u ) ? f ( u ) ? 2 u ,f ( x ) ? 4 e ? 2 ( x ? 1 )
2.设 Q( x, y)具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 , 数

? 2xydx? Q( x,

y)dy

与路径无关,对于任 的 意 t, 恒 有











?(0,0) 2xydx? Q( x, y)dy
??
(1,t ) (0,0)

(t ,1)

2xydx ? Q( x, y)dy

求 Q (x ,y).
?Q ? 2x ?x



(x ,y )? 2 xdx ? g ( y ) ? ? 2 [ x ? ( y ) ? ? ( y )] ? 2 x ? ( y ) ? 2 y ? 2 ? ( y )Q ?

2











? ( t, 1 )
?0
1

? x? g ( y )?
2
1

( t , 1 )

( 0 , 0 )

2 xydx ? Q ( x ,y ) dy

y
1
?? 2x?0 dx ?
0 t

Q(t, y)dy ??[t2?g (y)] dy
0

?t2 ?

2 xydx ? Q (x ,y ) dy g (y )dy ? ? ( 0 ,0 ) 0
t

1

( 1 ,t)

o y t

t

x

? ( 1 ,t)??[1?g(y)]dy
0

?? Q (1 , y)dy
0

t

?t ??

t

0

g (y )dy ?t2?

g (y ) dy ? ? 0


1

o

1

x









t ??

1 2 ( y ) dy ? t? t?g ( y ) dy g( y)dy 即g 0 0 0

t

?

t

?

两边对 t 求导: g ( t ) ? 2 t ? 1
? g ( y ) ? 2 y ? 1
Q ( x ,y ) ?
2? 2 ?g x 2 y ? 1 . x (y )?

试确定 f(x ), 使
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ax ? e ? 4 f ( x )] ydx ? [ f ( x ) ? 4 f ( x )] dy ? du ( x , y ), 例9 [

其中 a 为常 . 数
ax ? ? ? e ? 4 f ( x ) ? f ( x ) ? 4 f ( x )

2 解 知识点: ① 曲线积分与路径无关的 ax ? ? ? 四个等价命题; f ( x ) ? 4 f ( x ) ? 4 f ( x ) ? e ( 1 ) ②f 含参数的二阶常系数非 ? ? ? ( x ) ? 4 f ( x ) ? 4 f ( x ) ? 0 ( 2 ) 齐次线性微分方程. 特征方程:
2 r ? 2 1 ,2? r ? 4 r ? 4 ? 0特征根:

? ? 2 [ x ? ( y ) ? ? ( y )] ? 2 x ? ( y ) ? 2 y ? 2 ? ( y )











? 方程 (2 ) 的通解为
? 2 x Y ? ( C ? C x ) e 1 2

? ? a

1?当 a??2时,
2 ? 2 x 设立方程 ( 1 ) 的特解为 y ? ? x ? Ae ??? 2 是特征重根, k?2
1 代入 ( 1 ), 可得 A ? , 2

12? x ? ( 1 ) 之特解: y? x e2 2
?

当a ? ?2 时, f ( x) ?











( C ? C x ) e ? 1 2

? 2 x

1 x 2

2

e

?2 x

2 当a??2时,
?

ax ( 1 ) 的特解为 y ? ? Ae ??a 不是特征根, k?0 设立方程
1 代( 入 1 ), 可得 A ? , 2 ( a ? 2 )

1 ax ? ( 1 ) 之特解: y? e 2 ( a ? 2 ) 当a ? ?2 时, f ( x) ?
?

1 ax e 1 ( a ? 2) 2 2

x

2

e

1 设 ?(1) ? ,?(x)可导,试确定 ?(x), 2 ?2 x ?(x) 使 [?3(x)? ]ydx ??(x)dy?du (x, y), x 并求 u (x, y).











类似题

? ( x )3 1 ? ? ( x ) ? ? ? ( x ), ? ( x ) ? 2
x

2 ( x ? x )

y ( x ,y )? ? C 答案:u 知识点: 2 2 ( x ? x) 3n ① 曲线 ? 积分与路径无 x 求 的和函数 . ? 关的四个等价命题; n )! n ?0 (3 ② 伯努利方程.











例10 设于半空间 x?0 内任意的光滑有向
曲面 ? ,都有
?

2 x xf ( x ) d y d z ? xyf ( x ) d z d x ? e z d x d y ? 0 ??

0 ? xf ( x ) d y d z ? xyf ( x ) d z d x ? e z d x d y ??
2 x ?
解 由题设和高斯公式得
?

2 x 0 ? xf ( x ) d y d z ? xyf ( x ) d z d x ? e z d x d y ??

2 x ? ? ? [ x f ( x ) ? f ( x ) ? xf ( x ) ? e ] d x d y d z ??? V

其中 V 为封闭曲面

? 围成的有界闭区域,

当有向曲面 ? 的法向量指向内侧 取 " ? " 号。
2 x ? x f ( x ) ? f ( x ) ? xf ( x ) ? e ? 0 ( x ? 0 )

当有向曲面 ? 的法向量指向外侧时, 取 " ? " 号,
由常数变易公式有

由 ? 的任意性,

根据无穷小的比较知,


1 1 ?1 ? ( 1 ? ) d x (? 1 ) d x ? 2 x? x x ? e ? e d x ? C

1 1 2 x ? f ( x ) ? (? 1 ) f ( x ) ? e ( x ? 0 ) x x
f ( x ) ? e x ? ?

?

? ?

e ? 12 ? x ? x ? ? e xed x ? C ? ? x ?x ?
ex ? (ex ? C) x

x

为一阶非齐次线性微分 方程,

x ? 0

lim e ? Ce ? 0 ,
?

?

2 x

x

?

2 x x ? ? e ? Ce ? ? 由于 lim f ( x ) ? lim ? 1 , ? ? ? ? x x ? 0 x ? 0 ? ?

即 C ? 1 ? 0 , 从而 C ? ? 1 .
于是
求微分方程 xdy?(x?2y )dx?0的一个
ex f(x)? (ex ?1 ). x

解 y? y (x ),使得由曲线 y? y (x ) 与直线 x?1 , x?2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转 一周的旋转体体积最小 .

题型5 例11

与微积分的几何应用有关

? ? y ( x ) 满足 :y ? 2 x y ? 4 y ? 0
dy 2 原方程可化为: ? y? ? 1 线性方程 ① 一阶线性微分方程 dx x ② 定积分几何应用——旋转体体积
? dx

? 解1知识点: 先求通解

2 2 ? dx ? ③ 一元函数的最值 21 2 x x ? x( ? C )? x ? Cx y ? e [( ? 1 ) e dx ? C ]

?

x

2? 求旋转体体积
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22 ? ( x ? Cx ) dx V ??? y dx? ?

2

2

2

1

1

31 2 15 7 ? ? ( C? C ?) 5 2 3 ? 3 求 y (x ) 62 15 75 ? 令 V ( C ) ? ? ( C ?) ? 0 , 得 C?? 5 2 124 62 ? ? 又 ? V ( C )? ? ? 0 , 5 75 ?C ? ? 是唯一极小值点,也 最小值点 124
75 2 ? 所求 y ? y ( x ) ? x ? x . 124











例12

2? 2 2 ( x y ) z? h ( t )? h ( t )

记V为雪堆体积, S为雪堆的侧面积

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知识点: ① 重积分的几何应用 ——曲顶柱体的体积 ——曲面片的面积 ② 一阶可分离变量方程

(设长度单位为厘米,时 间单位为小时 ),已 知体积减少的速率与侧 面积成正比 (比例系 数是 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化 需多少时间?

??? [ h (t)?
D

2?y 2 2 (x )

z

h (t)

] dxdy

? ? ? d ?
0

2 ?

?

2? ? h ( t )
?

h ( t) 2 2 r 2[ h ( t)? ] rdr 0 h ( t)

2 2 D:x ?y ?
o

2 h(t)

或 V?? dz?? dxdy
0 D (z)

h (t)

x

V ??? z(x ,y )dxdy
D

2

y

h (t) 122 2 2 2 ? {? [h(t)?2r]d[h(t)?2r]} 40

?

?
2 (x2?y2) z?h (t)? h (t)
目 回

2 h( t )

?

1 2 [h (t) ?2r ] 2

h(t) 22 2 0

?

?
4

3 h (t )







? ?

h ( t)

0

2 h ( t )? h ( t ) z ? ? dz (截面法) 2 h ( t ) ? 2 2 ? ? ? [ h ( t ) ? h ( t ) z ]

4 h ( t )

0

h (t )
z
2 h ( t)? h ( t) z 2 2 D ( z ): x ? y ? 2

2 (x2?y2) z?h (t)? h (t)

2 2 D:x ?y ?
o

2 h(t)

S ?

??
?

dS

2

y

x
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2?z2dxdy ??? 1?zx y D

或 V??

h (t)

0

dz?? dxdy
D (z)

4 x2 4 y2 ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) dxdy ?? h ( t) h ( t) D

1 2 2 2 ? ??h ( t ) ? 16 ( x ? y ) dxdy h ( t )D
1 ? ? d ? ? h ( t )0
2 ? h ( t ) 2 0 2 2 h ( t ) ? 16 r ? rdr

13 dV 2 ? ? 0 .9 S ? ? h (t ) 依题意, dt 12
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d ? 3 ? [ h (t)] dt 4 13 2 ? 2 ? ?? 0 .9 ? ?h(t) ?3 h ( t) h ( t)? 12 4 13 2 ? 0 .3 ? ?h (t) 4

? h ( t )? ? 1 . 3

h ( 0 ) ? 130 ,得 ? h ( t ) ? 1 . 3 t ? C由

令 h ( t ) ? 0 , 得 t ? 100 ( 小时 ) ? h ( t ) ? 1 . 3 t? 130 C ? 130
因此高度为 130 厘米的雪堆全部融化所 需时间 为 100 小时 .

设 y? y (x ) 在 (?? ,?? ) 内具有二阶导 ? ?0 且 y , x?x (y ) 是 y? y (x ) 的反函数 .
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题型6

两函数存在某种关系

例13 若函数 f (x),g(x)满足条件 f ?(x) ? g(x), ?(x), f (0 f (x) ??g ) ?0 , g(x) ?0 ,求由曲

f (x) 1 线y ? 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g(x) 4 ? ? ? ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) 解 知识点: 依题设条件,得f ① 原函数 ? ? 即 f ( x ) ? f ( x ) ? 0 , ② 定积分几何意义 2 r ? i 特征方程: r ? 1 ? 0 , 特征根: ③ 二阶常系数齐次线性微分方程 1 ,2? 通解: f ( x ) ? C cos x ? C sin x 1 2

由 f( 0 )? 0 ,得 C ? 0 , f ( x ) ? C sin x 1 2
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? ? g ( x ) ? f ( x ) ? C cos x 2

4 f (x) ?C ? 0 , ? tan x 2 g(x)
故面积:

? ? 当 x ? [ 0 ,] 时, cos x ? 0 , 而 g ( x ) ? 0
?
? f ( x) dx ? 4 tanxdx ?0 g( x)

A? ?4
0

?
4 ??ln cos x0

1 ? ln 2 . 2











类似题

1 f ( x ? hx ) h ? ? ? ? ? lim 1 ? ? 1 h ? 0 f ( x )

x ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? 2 e ? 答案: ? ? f ( 0 ) ? 0 ,f ( 0 ) ? 2 ?

1 ? e f ( x ) ? sin x ? cos x ? e , I ? . 1 ? π
x

π











2.

设 F ( x ) ? f ( x ) g ( x ), 其中 f ( x ), g ( x ) 在
? g ( x ) ? f ( x )

? ( ?? , ?? ) 内满足条件 : f ( x ) ? g ( x ),
且 f ( 0 ) ? 0 , f ( x ) ? g ( x ) ? 2 e .
(1) 求 F( x)所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出 F( x)的表达式 .
2 x ? 1 ) F ( x )? 2 F ( x )? 4 e , 答案: ( 2 x ? 2 x ( 2 ) F ( x )? e ? e .

x











题型7

与级数有关的问题











例14

解 知识点: ① 一阶非齐次线性微分方程 ; 3 2 5 8 n ? 1 x x x x ?? ? s ? ? ? ? ② 幂级数求和 . ? ?
2 ! 5 ! 8 ! ( 3 n ? 1 )! 4 7 3 n ? 2 xx x x ? ?? ? ? ? s ? ? ? ? 1 ! 4 ! 7 ! ( 3 n ? 2 )!

x ? ( ?? , ?? )

3 n x s? s ( x )?? , ( 3 n )! n ? 0

?

3 6 9 3 n x x x x ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ! 6 ! 9 ! ( 3 n )!

? ? ? s ? s ? s ?
e
x

,

x ?(0 s (0 )? 1 ,s )? 0s ? ? ? ? s ? s ? e
目 回







对应的齐次线性方程:



? ? ? s ? s ? s ? 0
其特征方程为



2 特征根为 r ? r ? 1 ? 0
1 3 r ? i 1 ,2 ?? 2 2

x ? 3 3 2 S ? e( C cos x ? C sin x ) 1 2

2

2

∴ ②的通解为

???1 不是特征根, k?0
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? 设非齐次线性方程

s ? Ae
?

x ①的特解为

A

?

1 3

代入①,得 故①有特解:

1 x s ? e 3
?

s?S ? s
x ? 2 1 2

?
x

3 3 1 ①的通解为: ? e( C cos x ? C sin x ) ? e 2 2 3

又 ? 当 x? 0 时,
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? ? ? ? ?

s ( 0

) )

? ?

1 0

s ? ( 0

? C1 ?

1 3 1 1 ??2C1? 2C2?3

从而所求和函数为

2 0 3 ?C 1? , C 2? 3

x 2? 3 1x 2 s ( x ) ? e cos x ?e 3 2 3

n 1 .设 a x 当 n ? 1 时,有 n , ? n ? 0

?

( ?? ? x ? ?? )
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an?2 ?n (n?1)an ?0, 类似题 且 a ,a , 求此幂级数的和函数 . 0 ?4 1 ?1 ? ? s ( x ) ? s ( x ) ? 0 ? ? ? ? s ( 0 ) ? a ? 4 , s ( 0 ) ? a ? 1 ? 0 1
n ? 1 解 s ? (x )? na x ?n , n ? 1 ?
若函数 f (x),g(x)满足条件 f ?(x) ? g(x), f (x) ??g?(x), f (0) ?0 , g(x) ?0 ,求由曲 线y ? f (x) 1 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g(x) 4

3? 5 x x s ( x )? e ? e. 2 2
??? ?( 求 y 9 y? 0 满足初始条件 y ( 0 )? 0 ,y 0 )? 3
若函数 f (x),g (x)满足条件 f ?(x) ? g (x), ?(x), f (0 f (x) ??g ) ?0 ,g (x) ?0 ,求由曲 线y ?

的特解,并将其展开成 x 的幂级数 .

f (x) 1 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g (x) 4











2.

? f ( x ) ? f ( x ) ? x e n n
n ? 1 x
dx ? dx n ? 1 x ? ? 通解: f ( x ) ? e ( x e e dx ? C ) 线性方程 n ?



x n ? 1 ? e ( x dx ? C ) ?
x

C ? 0

e xn ) ? ,得 ?e ( ?C ) 由fn(1 n n
n x ? fn(x )? ex n











xx 于是 f ( x )? e n ? ? n ? 1 n ? 1n

?

? n

?e

x

x ? ? 0 n ? 1
x

?

x

n ? 1

dx

若函数 f (x),g (x) 满足条件 f ?(x) ? g (x), ?(x), f (0 f (x) ??g ) ?0 ,g (x) ?0 ,求由曲 线y ? f (x) 1 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g (x) 4

x ? ( ? 1 , 1 )
x ? [ ? 1 , 1 )

1 ?e ? (? x )dx?e ? dx , ? 0 01 ?x n ? 1
n ? 1

x ?

x

x

x ? e [ ? ln( 1 ? x )],

若函数 f (x),g (x) 满足条件 f ?(x) ? g (x), ?(x), f (0 f (x) ??g ) ?0 ,g (x) ?0 ,求由曲 线y ? f (x) 1 与 y ?0 , x ? π所围成的面积 . g (x) 4











3.

2 r ? 9 ? 0
? C cos 3 x ? C sin 3 x 特征根: y 1 2

? ? 3 i 解 特征方程:r
? ? ? 3 C sin 3 x ? 3 C cos 3 x 所给方程的通解:y 1 2
得 C ? 0 ,C ? 1 . 1 2

? 由 y ( 0 ) ? 0 ,y ( 0 ) ? 3 ,及 ?特解为: y ? sin 3 x
n ( ? 1 ) 2 n ? 1 ? ( 3 x ) , x ? R ? ( 2 n ? 1 ) n ? 0 ?

? n 2 n ? 1 ) 设有一高度为 h ( t)( t为时间 的雪堆在融 ( ? 1 ) 3 2 n ? 1 ? x ,x ? R ? ( 2 n ? 1 ) 程: 过程中,其侧面满足方 n ? 0
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n a x ( ?? ,?? ) 内收敛,其和函 4. 设 ?n 在 n ? 0

?

? y ( 0 ) ? 0 , y ( 0 ) ? 1 .
2 ( 1 ) 证明 a : ? a, n ? 1 , 2 , ? ; n ? 1 n ? 1n ( 2 ) 求 y ( x ) 的表 . 达式

求f (x).
(07年考研)
解(1)
n y ? a x ? n n ? 0 ?
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???? y n (n ? 1 ) a x , n
n ? 2
n ? 2 n n 即 n ( n ? 1 ) a x ? 2 na x ? 4 a x 0 , ?n ? n ? n? n ? 2 n ? 1 n ? 0

?

n ? 2 ?

n?1 y? ? ? na x , n

?

?

?

n?1

? ? ? 代入 y ? 2 x y ? 4 y ? 0 ,得
n ? 2 n n 即 n ( n ? 1 ) a x ? 2 na x ? 4 a x 0 ?n ? n ? n? n ? 2 n ? 1 n ? 0 ? ? ?











2 a ? 4 a ? 0 ? 2 0 ? ? ( n ? 2 )( n ? 1 ) a ? ( 2 n ? 4 ) a ? 0 ( n ? 1 , 2 , ? ) ? n ? 2 n

y ( 0 ) ? a 0
?

2 从而 a ? a , n ? 1 , 2 ? . n ? 2 n n ? 1
n ( 2 a ? 4 a ) ? [( n ? 2 )( n ? 1 ) a ? ( 2 n ? 4 ) a ] x 0 2 0? n ? 2 n ? n ? 1

? y ( 0 ) ? a 1










(2) 依题设,知
n ? 0 n n n ( n ? 2 )( n ? 1 ) a x ? 2 na x ? 4 a x ? 0 , ? n ? 2 ? n ? n n ? 1 n ? 0 ? ? ?

2 2 ?0 ? ? a 2 n ? 3 n2 n?2 ( n ? 1 , 2 , ? ) 2
n 2 ?? ? a 2 n?(2 n?2 )? ?4?21

?1

n?1 y? ? ? na x , n n?1

?

?

1 n !

? y?

n?0

n a x ? n

?

a n ? 2?

2 a , n n?1 n?1 ,2 ? .
?
2 n ? 1 a ? 2 n ? 1x ?

从而 a2n?0(n?0,12,? )

n ? 0











2 a 2 n ? 1? a 2 n ? 1 2 n
1 2 n ?1 ?? x n! n? 0
?

x ? (?? ,?? ).
1 ? x ? ( x2 )n n! n?0
?
n ? 0 2 n ? 1 a ? 2 n ? 1x ?

?

1 a2n?1 ? n!
eu ? ?u n ! n ? 0
? n

a2n ? 0 (n ? 0,1,2,?)

设定义在 (?? ,?? )上的函数 f(x), ?

xe

x2

,











例15

1 x ? f ( x ) ? f ( x ) ? ?f ( t ) d t ? 0 0 x ? 1

? ( 1 ) 求导数 f ( x );
x

? x ( 2 ) 证明:当 x ? 0 时,不等式: e ? f ( x ) ? 1 成立

( 1 )

0

由题设知

? ( x ? 1 ) f ( x ) ? ( x ? 1 ) f ( x ) ? f ( t ) d t ? 0 ?

上式两边对 x 求导,
? ? ? ( x ? 1 ) f ( x ) ? ? ( x ? 2 ) f ( x )
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属可降阶的微分方程,
? 设 p ? f ( x ),

代入上方程得 由f(0)?1,代入题设关系式有
? ( x ? 1 ) p ? ? ( x ? 2 ) p 分离变量有
dp x?2 ?? dx p x?1

两边积分

ln p ? ? x ? ln( 1 ? x ) ? ln C 解之得
? x Ce f?(x )? p? 1 ?x

?( ? 则 f x ) ? p ,
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? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? 0 ,

因此
? x ? f ( 0 ) ? ? 1 . 即证 f ( x ) ? e ? 0 .知
e?x f ?(x) ?? 1? x

(2 )

( x ? 0 ,f?(x )? 0 , 方法1) 即 证当 ? ? f ( x ) 在 0 , ? ? 上单调减少,又 f ( 0 )? 1 ,

所以 f ( x ) ? f ( 0 ) ? 1
? x 欲 f 证 ( x ) ? e ,

从而 C ? ? 1 . 为此设
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? x ? ( x ) ? f ( x ) ? e

则 ? ( 0 ) ? 0 ,
? x?
x e? x x ?1

? ? ? ( x ) ? f ( x ) ? e

? ? 即 ? ( x ) 在 0 , ? ? 上单调增加,
因而
? ( x )? ? ( 0 )? 0
? x 即有 f ( x ) ? e

?( 当 x ? 0 时, ? x )? 0 ,

综上所述,当 x?0 ,成立不等式
? x ? 由于 f ( t ) d t ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ( x ) ? 1 e ? f ( x ) ? 1 ? 0
x











(方法2)
f(x )?1 ??
? t xe 01 ?t

所以

d t

注意到当 x?0 时
??
x ?t e dt 0

0?

? 0

x

? t e d t 1? t

1 ?f( x )? 1 ? ?

? t xe

? 1 ? e

? x 因而有

即有
? x e ?f(x )? 1 .

01 ? t

d t

dy ? 变量分离方程: 1 ? f ( x ) g ( y ) dx

? x ? x ? 1 ? 1 ? e ? e

? ?











例16 求欧拉方程
2 2 ? ? ? ? ? ? x y ? x y ? 4 x y ? 3 x的通解. 3

解 作变量变换 原方程化为

t x ? e 或 t? ln x ,

2 t D ( D ? 1 )( D ? 2 ) y ? D ( D ? 1 ) y ? 4 Dy ? 3 e ,

即 或

3 2 2 t D y ? 2 D y ? 3 Dy ? 3 e ,

3 2 d y d y d y 2 t (1) ? 2 ? 3 ? 3 e 3 2 d t d t d t



3 2 d y d y d y 2 t ? 2 ? 3 ? 3 e (1) 3 2 d t d t d t

方程(1)所对应的齐次线性方程为
3 2 d y d y d y ? 2 2? 3 ? 0 , 3 d t d t d t

其特征方程
3 2 r ? 2 r ? 3 r ? 0 ,

特征方程的根为

r ? 0 , r ? ? 1 , r ? 3 . 1 2 3

所以齐次线性方程的通解为
? t 3 t Y ? C ? C e? C e 1 2 3
? 2 t 设方程(1)的特解为 y ?be 1 1 2t ? b?? . 即 代入方程(1),得 y ?? e , 2 2 ? t 3 t 1 2 t y ? C ? C e ? C e ? e 故方程(1)的通解为 1 2 3 2 变量代回,得所给欧拉方程的通解

C 3 12 2 ? 0 , r ? ? 1 , r ? 3 . y ? C ? ? C x ?x . 特征方程的根为 r 1 2 3 1 3 x 2



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