广东深圳高级中学18-19高二下学期年中-数学(文)

广东深圳高级中学 18-19 高二下学期年中-数学（文）

广东省深圳高级中学

2018—2018 学年度下学期期中考试

高二数学文试题

第一卷〔本卷共计 50 分〕

【一】选择题：(本大题共 10 小题，每题 5 分，总分值 50 分.每题只有一个正确选项.)
A.所有不能被 2 整除的整数基本上偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

2、设函数 f(x)在 x0 处可导，那么 lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) 等于〔〕

?x?0

?x

A、 f '(x0 ) B、 f '(?x0 ) C、- f '(x0 ) D、- f '(?x0 )

3、设 a 是实数，且 a ? 1 ? i 是实数，那么 a ? () 1?i 2

A、 1

B、1

2

C、 3 2

D、 2

4.在等比数列?an? 中，假如 a1 ? a2 ? 40，a3 ? a4 ? 60，那么 a7 ? a8 ? 〔〕

A、135B、100C、95D、80

5.在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，那么该数列前 11 项和 S11＝()

A、58

B、88

C、143

D、176

6、设 A, B 为两个事件，且 P?A? ? 0.3， P?B? ? 0.7 ，那么()

A、 A 与 B 互斥

B、 A 与 B 对立 C、 A ? B

D、A、B、C 都不对

7、假如数据 x1 、x2 、…… xn 的平均值为 x ，方差为 S 2 ，那么 3x1 ? 5 ，3x2 ? 5 ，…… 3xn ? 5
的平均值和方差分别为〔〕

A、 x 和 S 2 B、3 x +5 和 9 S 2 C、3 x +5 和 S 2 D、3 x +5 和 9 S 2 +30 S +25

8、利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X

和 Y 有关系”的可信度。假如 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为

()

P(k2>k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00

)

1

k

0.45 0.70 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8

5

8

3

A.25％B.75％C.2.5％D.97.5％

9、直线 y ? x ? 3 与曲线 y2 ? x | x | ? 1 的交点个数为〔〕 94
A.4 个 B1 个 C.2 个 D.3 个
10、设 F 为抛物线 y2 ? 4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，假设 FA ? FB ? FC ? 0 ，

那么 FA ? FB ? FC ? 〔〕

A、9

B、6

C、4

D、3

第二卷〔本卷共计 100 分〕

二.填空题：〔本大题共 4 小题，每题 5 分，总分值 20 分、〕

11、右面是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为 5 时，

那么其输出的结果是.

11

1

12.设 f(n)＝n＋1＋n＋2＋…＋2n(n∈N*)，那么

f(n＋1)－f(n)等于.

13、将一枚骰子抛掷两次，假设先后出现的点数分别为 b, c ，

那么方程 x2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率为、

14 、 (

坐标系

与参数方

程选做题

)直线

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? t

t

(t为参数)

被圆

(x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 所截得的弦长为、
15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A，B 两点，割线 PCD 通过圆心， 假设 PA=3，AB=4，PO=5，那么⊙O 的半径为______________、

【三】解答题：(本大题共 6 小题，总分值 80 分、须写出文字说明、证明过程和演算步

骤)

16.〔此题 12 分〕为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，

所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别

频数

频率

[145.5，149.5〕

1

0.02

[149.5，153.5〕

4

0.08

[153.5，157.5〕

20

0.40

[157.5，161.5〕

15

0.30

[161.5，165.5〕

8

0.16

[165.5，169.5〕

m

n

合计

M

N

〔1〕求出表中 m, n, M , N 所表示的数；
〔2〕画出频率分布直方图；

频率 组距 0.1 0.09 0.08
0.07
0.06 0.05

17、〔此题 12 分〕函数： f (x) ? x 2 ? bx ? c ，其中：0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ，记函数 f (x) 满

足条件：

? ? ?

f f

(2) ? 12 (?1) ? 3

的事件为

A，求事件

A

发生的概率。

18、〔此题 14 分〕分别求适合以下条件圆锥曲线的标准方程：

〔1〕焦点为 F1 ?0，-1? 、 F2 ?0，1? 且过点 M

( 3 ,1) 椭圆； 2

〔2〕与双曲线 x2 ? y2 ? 1有相同的渐近线，且过点 (2, 2) 的双曲线、 2

19.〔此题 14 分〕抛物线 y 2 ? 4x 及点 P(2,2) ,直线 l 斜率为 1 且只是点 P ,与抛物线交于
点 A,B,
(1)求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围；
(2)假设 AP,BP 分别与抛物线交于另一点 C、D，证明:AD,BC 交于定点.
20、〔此题 14 分〕f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间 (??,0),(1,??) 上 是减函数，又 f ?(1) ? 3 . .
22 (1)求 f (x) 的解析式；

(2)假设在区间[0, m] (m＞0)上恒有 f (x) ≤x 成立,求 m 的取值范围。

21.〔此题 14 分〕 f (x) ? ax ? ln x, x ??0,e? ，其中 e 是自然常数， a ? R.

〔1〕讨论 a ? 1 时, f (x) 的单调性、极值；

〔2〕是否存在实数 a ，使 f (x) 的最小值是 3，假设存在，求出 a 的值；假设不存在，说明

理由.
参考答案

一、 选择题〔本大题共 10 小题，每题 5 分，共 40 分。每题只有一个正确答案〕

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

C

B

A

B

D

B

D

D

B

二、 填空题〔本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分〕

1

1

11.212.2n＋1－2n＋2

13. 19 14. 82 15.2 36
【三】解答题〔本大题共 6 小题，共 80 分。解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕

16.〔本小题总分值 12 分〕

16.〔此题 12 分〕解：〔1〕 M ? 1 ? 50, m ? 50 ? (1? 4 ? 20 ?15 ? 8) ? 2 0.02

N ? 1, n ? 2 ? 0.04 50
〔2〕如右图

频率 组距 0.1
0.09

17.〔此题

12

分〕解：由

? ? ?

f f

(2) ? 12 (?1) ? 3

0.08
，可0.0得7 ：

?2b ? c ? 8 ??b ? c ? ?2

…………………6

分

0.06

知满足事件

A

的区域：的面积

S(a)

0.05
? 16

?

1

?

2

?

2

?

1

?

2

?

4

?

10，而满足所有条件

2 0.04

2

0.03

的区域 ? 的面积： S(?) ? 16

0.02

0.01
从而，得： P( A) ? S (a) ? 10 ? 5 ，O………1…45.…5 1…49.…5 1…53.…5 …157….5 …1611.51 分165.5 169.5 身高 S(?) 16 8

答：满足事件 A 的概率为 5 …………………………………………12 分 8

18、〔此题 14 分〕解：〔1〕设椭圆的标准方程为

y2 a2

?

x2 b2

? 1〔 a ? b ? 0 〕、

因为 2a ? MF1 ? MF2 ? 4，因此 a ? 2 ， b2 ? a2 ? c2 ? 3、 故椭圆的标准方程为 y2 ? x2 ? 1、??????????6 分
43

〔2〕设双曲线的标准方程为 x2 ? y2 ? ? 〔 ? ? 0 〕、 2

因为双曲线过点 (2, 2) ，因此 4 ? 4 ? ? ，解得 ? ? 2 、 2

故双曲线的方程为 x2 ? y2 ? 2 ，即 x2 ? y2 ? 1 、??????????12

2

24

19.〔此题总分值 14 分〕解:(1)设直线 l 的方程为 y ? x ? b(b ? 0) ,

由于直线只是点 P ,因此 b ? 0

由

? ? ?

y y

? x?b 2 ? 4x

得

x

2

? (2b ? 4)x

? b2

?

0 ,由 ?

? 0, 解得 b

?1

因此,直线 l 在 y 轴上截距的取值范围是 (??,0) ? (0,1)

(2)设 A,B 坐标分别为 ( m2 , m), ( n2 , n) ,因为 AB 斜率为 1,因此 m ? n ? 4 ,

4

4

设

D

点坐标为 ( yD 2 4

,

yD ) ,因为 B、P、D

共线,因此 kPB

?

kDP ,得

yD

?

8 ? 2n 2?n

?

2m m?2

直线 AD 的方程为 y ? m ? yD ? m (x ? m2 )

yD2 ? m2

4

44

当 x ? 0时, y ? my D ?

2m2

?2

yD ? m 2m ? m2 ? 2m

即直线 AD 与 y 轴的交点为 (0,2) ,同理可得 BC 与 y 轴的交点也为 (0,2) ,

因此 AD,BC 交于定点 (0,2) .

20.〔此题 14 分〕解：〔Ⅰ〕 f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ，由 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ，

即

?c ? 0， ??3a ? 2b

?

c

?

解得
0，

??c ???b

? ?

0， ?3
2

a．

?

f

?(x)

?

3ax2

?

3ax

，?

f

?

? ??

1 2

? ??

?

3a 4

?

3a 2

?

3 2

，?a

?

?2 ，?

f

(x)

?

?2x3

?

3x2

、

〔Ⅱ〕令 f (x) ? x ，即 ?2x3 ? 3x2 ? x ? 0 ，? x(2x ?1)(x ?1) ? 0 ，

?0 ? x ? 1 或 x ?1、又 f (x) ? x 在区间?0，m? 上恒成立，?0 ? m ? 1 、

2

2

21.解：〔1〕? f (x) ? x ? ln x ， f ?(x) ? 1 ? 1 ? x ?1 xx

∴当 0 ? x ? 1时， f / (x) ? 0 ，如今 f (x) 单调递减

当1 ? x ? e 时， f / (x) ? 0 ，如今 f (x) 单调递增

∴ f (x) 的极小值为 f (1) ? 1

〔2〕假设存在实数 a ，使 f (x) ? ax ? ln x 〔 x ? (0, e]〕有最小值 3，

f / (x) ? a ? 1 ? ax ?1 xx

①当 a

? 0时，

f (x) 在 (0, e] 上单调递减，

f (x)min

?

f (e) ? ae ?1 ? 3 ， a

?

4 e

〔舍去〕，

因此，如今 f (x) 无最小值.

②当 0 ? 1 ? e 时， f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，在 ( 1 , e] 上单调递增

a

a

a

f (x)min

?

f (1) a

? 1? ln a

? 3，a

? e2 ，满足条件.

③当 1 a

?

e 时，

f (x) 在 (0, e] 上单调递减，

f (x)min

?

f (e)

?

ae ?1 ? 3 ， a

?

4 〔舍去〕， e

因此，如今 f (x) 无最小值.综上，存在实数 a ? e2 ，使得当 x ? (0, e]时 f (x) 有最小值 3.