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河北省石家庄市第一中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题_图文


石家庄市第一中学 2012—2013 学年第二学期期末考试高一年级数学试题

试卷Ⅰ(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上.
1.集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1},则 A B ?

A.{x | 0 ? x ?1} B.{x | 0 ? x ? 2} C.{x | x ? 1} D.{x |1 ? x ? 2}

2.设

f

(x)

?

??2ex?1

? ??log3

(

x

2

?1)

x?2 ,则 f [ f (2)] ?
x?2

A. 0 B.1 C. 2 D. 3 3.若 a ?1 ? b ? ?2, b ? 0 ,则下列不等式正确的是

A. a ? 1 B. a ? 1 C. ab ? b2 D. a2 ? ab

b

b

4.在等差数列?an? 中, a4 ? a10 ? 4 ,则前13 项之和等于

A. 26 B.13 C. 52 D.156

5.已知倾斜角为? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? ?

A. 4 5

B. 4 3

C. 3 4

D. 2 3

6.设 l , m 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,有下列命题:

① l ∥m,m ? ? ,则 l ∥? ;② l ∥?,m∥? 则 l ∥m ;

③? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? ;④ l ? ?,m ? ? ,则 l ∥m .

其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
7.某公司一年共购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为每次 4 万元,一年的总存储

费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储

费用之和最

小,则每次都购买

A. 30 吨 C. 20 吨

B. 25 吨 D.15 吨

正视图

左视图

8.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与

左视图均为

半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

俯视图

A.16? B.14? C.12? D.8?

9.在 ?ABC 中,若 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin B sin C ,则角 A 的取值范围是( )

A. (0, ? ] 2

B.[? ,? ) 6

C. (0, ? ] 3

D.[? ,? ) 3

? ? 10.已知等比数列 an ,且 a4 ? a8 ? ?2 ,则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为

A. 6 B. 4 C. 8 D. ?9

11.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩

上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的

个数 5 ,9 ,14 ,20 ,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第 2013 项为 a2013 ,则 a2013 ? 5 ?

A. 2019? 2013 B. 2019? 2012 C.1006? 2013 D. 2019?1006

12.已知球 O 夹在一个锐二面角? ? l ? ? 之间,与两个半平面相切于点 A、B ,若 AB ? 3 ,

球心 O 到二面角的棱 l 的距离为 2 ,则球 O 的体积为

A. 4?

4? B. 3

C. 4 3?

D. 8 3?

试卷 II(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相 应的空内.
13. sin 75? ? *** . 14 . 若 实 数 x , y 满 足 不 等 式 组
?x ? y ? 5 ? 0 ??x ? y ? 0 ,则 z ? 2x ? 4y 的最小 ??x ? 3
** . 15.右图是正方体的平面展开图,则在这个
中,CN 与 BM 所成的角是 *** .

值是 * 正方体

16.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x ?1) ?
则数列?an? 的前 40 项和 *** .

f (x) ?

f

2(x) ? 1 2

,已知 an

?

f

2 (n) ?

f

(n) ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上, 并写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)
已知直线 l 过点 P ?1, 2? 为,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,O 为坐标原
点.
(1)当 OP ? l 时,求直线 l 的方程; (2)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程并求出面积的最小值.

18.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 3 sin ? x ? sin2 ? x ? 1 (? ? 0 )的最小正周期为 ? .

2

22

(1)求? 的值及函数 f (x) 的单调递增区间; (2)当 x ?[0, ?] 时,求函数 f (x) 的取值范围.
2

19.(本小题满分 12 分)
如图,由 n2 个数组成的方阵中,自左向右每 等差数列,设第 1,2,…, n 行的公差依次为 d1, d2 , , dn .方阵中自上而下每一列组成公比均
数列,已知 a11 ? 1, a12 ? a21 ? 2 .
(1)求 d4 及 a44 的值; (2)若 n ? 6 ,求方阵中所有数的和 S .

a11, a12 , a13, a21, a22 , a23, a31, a32 , a33,

, a1n , a2n , a3n

an1, an2 , an3, , ann

一行都构成 相同的等比

20.(本小题满分 12 分)
已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为边 AB 上的一点,且 AP ? ? AB ( 0 ? ? ?1).

(1)若等边三角形边长为 6 ,且 ? ? 1 ,求 CP ; 3
(2)若 CP ? AB ? PA? PB ,求实数 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

E

如 图 , 四 边 形 ABCD 与 BDEF 均 为 菱 形 ,

F

?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC .

(1)求证: AC ?平面 BDEF ;

【理】(2)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.

C

【文】(2)求 AF 与平面 BFC 所成角的正弦值.

D

A

B

22.(本小题满分 12 分)
已知 g(x) , h(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 g(x) ? h(x) ? ex . (1)求 g(x) , h(x) 的解析式; (2)解不等式 h(x2 ? 2x) ? h(x ? 4) ? 0 ; (3)若对任意 x ?[ln 2, ln 3]使得不等式 g(2x) ? ah(x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范
围.
石家庄市第一中学 2012—2013 学年第二学期期末考试高一年级数学试题
试卷Ⅰ(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上.

1.集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1},则 A B ? D

A.{x | 0 ? x ?1} B.{x | 0 ? x ? 2} C.{x | x ? 1} D.{x |1 ? x ? 2}

2.设

f

(x)

?

??2ex?1

? ??log3

(

x

2

?1)

x?2 ,则 f [ f (2)] ?
x?2

C

A. 0 B.1 C. 2 D. 3 3.若 a ?1 ? b ? ?2, b ? 0 ,则下列不等式正确的是 D

A. a ? 1 B. a ? 1 C. ab ? b2 D. a2 ? ab

b

b

4.在等差数列?an? 中, a4 ? a10 ? 4 ,则前13 项之和等于 (A)

A. 26 B.13 C. 52 D.156

5.已知倾斜角为? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? ? ( B )

A. 4 5

B. 4 3

C. 3 4

D. 2 3

6.设 l , m 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,有下列命题:

① l ∥m,m ? ? ,则 l ∥? ;② l ∥?,m∥? 则 l ∥m ;

③? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? ;④ l ? ?,m ? ? ,则 l ∥m .

其中正确的命题的个数是 A A.1 B.2 C.3 D.4
7.某公司一年共购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为每次 4 万元,一年的总存储

费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储

费用之和最

小,则每次都购买 C

A. 30 吨 C. 20 吨

B. 25 吨 D.15 吨

正视图

左视图

8.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与

左视图均为

半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

()

A.16? B.14? C.12? D.8?

俯视图

【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去 1 2

半球的

球.其中两个半圆的面积为 ? ? 22 ? 4? . 3 个球的表面积为 3 ? 4? ? 22 ? 12? ,所以这个几

4

4

何体的表面积是12? ? 4? ? 16? ,选 A.

9.在 ?ABC 中,若 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin B sin C ,则角 A 的取值范围是( C )

A. (0, ? ] 2

B.[? ,? ) 6

【答案】C

【解析】由题意正弦定理

C. (0, ? ] 3

D.[? ,? ) 3

a2 ? b2 ? c2 ? bc ? b2 ? c2 ? a2 ? bc ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 ? cos A ? 1 ? 0 ? A ? ?

bc

2

3

10.已知等比数列?an? ,且 a4 ? a8 ? ?2 ,则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为 B
A. 6 B. 4 C. 8 D. ?9
11.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩 上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的

个数 5 ,9 ,14 ,20 ,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第 2013 项为 a2013 ,则 a2013 ? 5 ?

D

A. 2019 ? 2013 B. 2019 ? 2012 C.1006 ? 2013 D. 2019 ?1006

12.已知球 O 夹在一个锐二面角? ? l ? ? 之间,与两个半平面相切于点 A、B ,若 AB ? 3 ,

球心 O 到二面角的棱 l 的距离为 2 ,则球 O 的体积为 B

A. 4?

4? B. 3

C. 4 3?

D. 8 3?

试卷 II(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相 应的空内.

13. sin 75? ?

. 6? 2 4

?x ? y ? 5 ? 0 14.若实数 x , y 满足不等式组 ??x ? y ? 0
??x ? 3

则 z ? 2x ? 4 y 的最小值是 ? 6 .

15.右图是正方体的平面展开图,则在这个

中,CN 与 BM 所成的角是

. 60

16 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足

f (x ?1) ? f (x) ? f 2 (x) ? 1 , 已 知 2

an ? f 2 (n) ? f (n) ,则数列?an? 的前 40 项



. ?5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上, 并写出文字说明、证明过程或演算步骤.

正方体

17.(本小题满分 10 分)

已知直线 l 过点 P ?1, 2? 为,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,O 为坐标原

点.

(1)当 OP ? l 时,求直线 l 的方程;

(2)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程并求出面积的最小值.

解:(1)由已知 kOP

?

2 , kl

?

?

1 kop

?

?1 2



……………2 分

由直线方程的点斜式可得直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 1 ? x ?1? ,
2

所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0

……………4 分

(2)设直线 l 的方程为 x ? y ? 1?a ? 0,b ? 0? ,
ab

因为直线过 P ?1, 2? ,所以 1 ? 2 ? 1
ab

∵ 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ,∴ ab ? 8 , a b ab

当且仅当

?
?? ?
? ??

1 a 1 a

? ?

2 b 2 b

?1 ?1
2

,即

?a ??b

? ?

2 4

时,取得等号.



S?ABC

?

1 ab ? 2

4

,即面积的最小值为 4

……8 分

所以,直线 l 的方程是 x ? y ? 1,即 2x ? y ? 4 ? 0 ………10 分 24

18.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 3 sin ?x ? sin2 ?x ? 1 (? ? 0 )的最小正周期为 ? .

2

22

(1)求? 的值及函数 f (x) 的单调递增区间;

(2)当 x ?[0, ?] 时,求函数 f (x) 的取值范围. 2

解:(1) f (x) ? 3 sin ?x ? 1? cos?x ? 1 ? 3 sin ?x ? 1 cos?x

2

2

22

2

? sin(?x ? ?) 6

………………4 分

因为 f (x) 最小正周期为 ? ,所以? ? 2

所以 f (x) ? sin(2x ? ?) . ………………6 分 6

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,得 k? ? ? ? x ? k? ? ? .

2

6

2

3

6

所以函数 f (x) 的单调递增区间为[ k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z ………8 分

3

6

(2)因为 x ?[0, ?] ,所以 2x ? ? ?[ ? , 7?] ,

2

6 66

所以 ? 1 ? sin(2x ? ?) ? 1

2

6

所以函数 f (x) 在[0, ?] 上的取值范围是[? 1 ,1]

2

2

………12 分

19.(本小题满分 12 分)
如图,由 n2 个数组成的方阵中,自左向右每 等差数列,设第 1,2,…, n 行的公差依次为 d1, d2 , , dn .方阵中自上而下每一列组成公比均 数列,已知 a11 ? 1, a12 ? a21 ? 2 .
(1)求 d4 及 a44 的值; (2)若 n ? 6 ,求方阵中所有数的和 S .
解:设每一列组成的等比数列的公比为 q

a11, a12 , a13, a21, a22 , a23, a31, a32 , a33,
an1, an2 , an3,

(1) q

?

a21 a11

?

2 , a41

?

a11q3

?8,

a42 ? a21q3 ? 16 ,

……………3 分

d4 ? a42 ? a41 ? 8

a44 ? a41 ? 3d4 ? 32

………………6 分

(2) a13 ? 3 , a14 ? 4 , a15 ? 5 , a16 ? 6

, a1n , a2n , a3n
, ann

一行都构成 相同的等比

设第 1 列,第 2 列,…,第 6 列的和分别为 S1 , S2 , S3 ,…, S6 由已知每一列组成公比为 q ? 2 的等比数列

? ? ? ? ? ? S ? S1 ? S2 ?

?

S6

?

a11 1? 26 1? 2

? a12 1? 26 1? 2

?

? a16 1? 26 1? 2

? 63?a11 ? a12 ?

?

a16

?

?

63?

6 ?1 ?
2

6?

? 1323

…………12 分

20.(本小题满分 12 分)

已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为边 AB 上的一点,且 AP ? ? AB ( 0 ? ? ? 1).

(1)若等边三角形边长为 6 ,且 ? ? 1 ,求 CP ; 3

(2)若 CP ? AB ? PA? PB ,求实数 ? 的取值范围.

解:(1)当 ? ? 1 时, AP ? 1 AB ,

3

3

2
CP

?

(CA ?

AP)2

?

2
CA

?

2CA ?

AP

?

2
AP

?

62

?

2?6?2?

1

?

22

?

28



2

∴ | CP |? 2 7

………4 分

(2)设等边三角形的边长为 a ,则 CP ? AB ? (CA ? AP) ? AB ? (CA ? ? AB) ? AB ? ? 1 a2 ? ?a2 ,………6 分
2

PA? PB ? PA? ( AB ? AP) ? ? AB ? ( AB ? ? AB) ? ??a2 ? ?2a2 ………8 分

即 ? 1 a2 ? ?a2 ? ??a2 ? ?2a2 , 2

∴ ?2 ? 2? ? 1 ? 0 ,∴ 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .………10 分

2

2

2

又 0 ? ? ? 1,∴ 2 ? 2 ? ? ? 1. ………12 分 2

21.(本小题满分 12 分)

E

如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,

F

?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC .

(1)求证: AC ? 平面 BDEF ;

【理】(2)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.

【文】(2)求 AF 与平面 BFC 所成角的正弦

D

A

B

C
值.

(1)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结 FO .

因为四边形 ABCD 为菱形,

所以 AC ? BD ,

………2 分

且 O 为 AC 中点.又 FA ? FC ,

所以 AC ? FO . ………4 分

因为 FO ? BD ? O ,

所以 AC ? 平面 BDEF . ………6 分

【理】(2)

解 : 因 为 四 边 形 BDEF 为 菱 形 , 且

?DBF ? 60? ,

所以△ DBF 为等边三角形.

因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,

故 FO ? 平面 ABCD .

………8 分

由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .

设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,

则 BD ? 2 ,所以 OB ? 1, OA ? OF ? 3 .

所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) .

所以 CF ? ( 3, 0, 3) , CB ? ( 3,1, 0) .

设平面

BFC

的法向量为

n

=

( x,

y, z )

,则有

??n ?

? CF

?

0,
所以

??n ?CB ? 0.

? 3x ? 3z ? 0,

? ?

3x ? y ? 0.

取 x ? 1,得 n ? (1,? 3,?1) .

………10 分

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) .

由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得

n?v cos?n, v? ? ?

15 .

nv 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为 15 . 5

………12 分

【文】 AF ? ( 3, 0, 3) ,

平面 BFC 的法向量 n ? (1,? 3,?1) , 则设 AF 与平面 BFC 所成角为? ,则

………10 分

sin? ? cos ? AF, n ? ? 10 5

………12 分

22.(本小题满分 12 分)

已知 g(x) , h(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 g(x) ? h(x) ? ex . (1)求 g(x) , h(x) 的解析式; (2)解不等式 h(x2 ? 2x) ? h(x ? 4) ? 0 ; (3)若对任意 x ?[ln 2, ln 3] 使得不等式 g(2x) ? ah(x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范
围.

解:(1)由

?? ? ??

g g

? ?

?x? ? x? ? h

h? ?x

?x? ? ? ? ex

e?x

,得

?? ? ??

g g

? ?

x x

? ?

? ?

h h

? ?

x? x?

? ?

e? ex

x

,解得

g?x? ? ex ? e?x , h?x? ? ex ? e?x . ………3 分

2

2

(2)∵ h(x) 在 R 是单调递增的奇函数,

∴ h(x2 ? 2x) ? h(x ? 4) ? 0 ? h(x2 ? 2x) ? h(4 ? x) ,

∴ x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?4 .

∴ ?x{x ? 1 或 x ? ?4? .

………6 分

(3) g?2x?? ah?x? ? 0 ,即得 e2x ? e?2x ? a ex ? e?x ? 0 ,参数分离得

2

2

? ? a

?

e2x ex

? ?

e?2x e?x

?

ex ? e?x 2 ? 2 ex ? e?x

?

ex

? e?x

?

ex

2 ? e?x

,………8



令t

?

ex

? e?x ,则 ex

? e?x

?

ex

2 ? e?x

?t

?

2 t

?

F (t) ,于是

F (t)

?

t

?

2 t



t

?

[

3 2

,

8 3

]

,因为

F

(t

)min

?

F(3) 2

?

17 6



所以 a ? 17 . ………12 分 6



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