您现在的位置:首页 > >

湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测理数试题Word版含答案.doc


理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,集合 B ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. (??, ?1) ? (3, ??) B. (?1, 2] C. (??, 2] ? (3, ??) ) ) D. [?2, ?1)

2.设复数 z 满足 z (1 ? 2i) ? 2 ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为( A.1 B. 2 C. 5 D.3 )

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ? cos x B. y ? ? | x | ?1 C. y ? 2| x|

D. y ? log 1 x
2

4.已知某三角函数的部分图象如图 1 所示,则它的解析式可能是(



A. y ? sin( x ? C.

?
4

)

y ? cos( x ? ) 4

?

3? ) 4 3? ) D. y ? cos(2 x ? 4
B. y ? sin(2 x ?

5.某程序框图如图 2 所示,若 n ? 3 , a0 ? 1 , a1 ? 2 , a3 ? ?2 , x ? 2 .则该程序运行后输 出的值为( A.1 ) B.0 C.-1 D.2

6.在等差数列 {an } 中, a4 ? 5 , a7 ? 11.设 bn ? (?1)n ? an ,则数列 {bn } 的前 100 项之和 S100 为( ) B.-100 C.200 D.100

A.-200

7.已知一正方体截去两个三棱锥后,所得几何体的三视图如图 3 所示,则该几何体的体积为 ( )

A.8

B.7

C.

23 3

D.

22 3


?x ? k ? 8.已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为( ?x ? y ? 0 ?
A.0 B.1 C.1 或 3 D .3
2

9.如图 4,?ABC 中的阴影部分是由曲线 y ? x 与直线 x ? y ? 2 ? 0 所围成, 向 ?ABC 内随

机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为(



A.

7 32

B.

9 32

C.

7 16

D.

9 16

10.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0) 关于直线 bx ? cy ? 0 的对称点 M 在 a 2 b2
) C.

椭圆上,则椭圆的离心率是( A.

2 4

B.

3 4

2 2

D.

3 3
?

11.已知 A, B 是单位圆 O 上的两点( O 为圆心) , ?AOB ? 120 ,点 C 是线段 AB 上不与

???? ? ???? A、B 重合的动点. MN 是圆 O 的一条直径,则 CM ? CN 的取值范围是(
A. [? , 0)



3 4

B. [?1,1)

C. [ ?

1 ,1) 2

D. [?1, 0)

12.若函数 f ( x) 在区间 A 上,对 ?a,b,c ? A , f ( a ) , f (b) , f (c) 为一个三角形的三 边长,则称函数 f ( x) 为“三角形函数”.已知函数 f ( x) ? x ln x ? m 在区间 [ 角形函数” ,则实数 m 的取值范围为( A. ( , ) C. ( , ??)

1 , e] 上是“三 e2

1 e2 ? 2 ) e e

B. ( , ??) 第Ⅱ卷(共 90 分)

2 e

1 e

D. (

e2 ? 2 , ??) e

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?1 ? x ? 1, x ? 0 13.已知 f ( x) ? ? 2 ,则使 f (a) ? ?1 成立的 a 值是____________. 2 ??( x ? 1) , x ? 0 ?
14.已知 (2 x ?

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则其展开式中常数项是___________. x

15.已知 sin(? ? ? ) ? ?

1 ? ,则 sin(2? ? ) ? ___________. 3 2

16.设 S (n) , T (n) 分别为等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和,且

S (n) 3n ? 2 .设点 A 是直 ? T ( n ) 4n ? 5

线 BC 外一点,点 P 是直线 BC 上一点,且 AP ? __________.

??? ?

? ???? a1 ? a4 ??? ?AB ? ? ?AC ,则实数 ? 的值为 b3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 设集合 A ? { y | y ? x2 ? 2x ? 1,0 ? x ? 3} ,集合 B ? {x | x2 ? (2m ?1) x ? m(m ?1) ? 0}.已 知命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且命题 p 是命题 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值 范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos2 x ? 2sin x cos x ? 3sin 2 x . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (II)求函数 f ( x) 在区间 [0, 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ?

?
2

] 的最大值及所对应的 x 值.

4an (n ? N * ) . an ? 2

(I)证明:数列 {

1 1 ? } 是等比数列. an 2

(II)设 bn ?

n n ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an 2

20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 为 角 A , B , C 所 对 的 边 , S 为 ?ABC 的 面 积 , 且

S?

3 2 2 2 (a ? b ? c ) . 4

(I)求角 A 的大小;

(II)若 a ? 2 7 , b ? c , D 为 BC 的中点,且 AD ? 3 ,求 sin C 的值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga x , g ( x) ? 2loga (2 x ? t ? 2) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 , t ? R . (I)若 t ? 4 ,且 x ? [ , 2] 时, F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的最小值是-2,求实数 a 的值; (II)若 0 ? a ? 1 ,且 x ? [ , 2] 时,有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 4

1 4

1 2 ax ? (a ? 1) x ? ln x ,其中 a ? 0 . 2

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)若 a ? 1 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (1, ??) ( x1 ? x2 ) ,总有

|f ( x1 ) ? f ( x2 )| 1 ? . | ax12 ? ax2 2 | 2

郴州市 2017 届高三第一次教学质量监测试卷 数学(理科)参考答案及评分细则
一、选择题 1-5:CABCA 二、填空题 13.-4 或 2 三、解答题 17.解:由已知得 A ? { y | 0 ? y ? 4},??????2 分 14. 60 15. 6-10:DBBDC 11、12:AD

7 9

16. ?

3 25

B ? {x | m ? 1 ? x ? m} .??????4 分
∵ p 是 q 的必要不充分条件, ∴ B ? A .??????6 分

?

则有 ?

?m ? 1 ? 0 .??????8 分 ?m ? 4

∴ ?1 ? m ? 4 ,故 m 的取值范围为 [1, 4] .??????10 分 18.解: (I)由已知得 f ( x) ? 3 cos 2x ? sin 2x ??????2 分

? ?2sin(2 x ? ) .??????3 分 3
∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? .??????4 分 由

?

?

2 3 5 11 ? ? k? ( k ? Z ) , 得 ? ? k? ? x ? 12 12 5 11 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [ ? ? k? , ? ? k? ](k ? Z ) .??????6 分 12 12 ? ? ? 2 (II)当 x ? [0, ] ,则 2 x ? ? [? , ? ] ,??????7 分 2 3 3 3
∴ sin(2 x ?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2k? (k ? Z ) ,??????5 分 2

?
3

) ? [?

3 ,1] .??????9 分 2



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) .??????4 分 an ?1 2 2 an 2 1 1 1 ? ? ,??????5 分 a1 2 2

又 a1 ? 1 ,∴

所以数列 {

1 1 1 1 ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列.??????6 分 2 2 an 2

(II)解:由(I)知,

1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ?( ) ? n , an 2 2 2 2



1 1 1 ? n ? .??????8 分 an 2 2 n n n ? ? .??????9 分 an 2 2n

∴ bn ?

于是 S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ,① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

由①-②得,

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? 1 ? n ,??????11 分 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n?1 1? 2 1 n n?2 即 Sn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n , 2 2 2 2?n ∴数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n .??????12 分 2
20.解: (I)由已知得

1 3 2 2 2 bc sin A ? (a ? b ? c ) ,???????1 分 2 4

∴ sin A ? ? 3

b2 ? c 2 ? a 2 .??????2 分 2bc

即 sin A ? ? 3 cos A .??????3 分 ∴ tan A ? ? 3 .??????4 分 又∵ A ? (0, ? ) , A ?

2? ,??????6 分 3

(II)由 cos ?ADB ? ? cos ?ADC 得:

AD 2 ? BD 2 ? AB 2 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 ?? ,又∵ D 为 BC 的中点,∴ BD ? DC ? 7 , 2 AD?BD 2 AD?DC

AD ? 3 ,
∴ AB ? AC ? 20 ,即 b ? c ? 20 .??????8 分
2 2 2 2

b2 ? c 2 ? 28 2? 1 ? cos ?? , 又∵ 2bc 3 2
∴ bc ? 8 .??????9 分 又∵ b ? c ,∴ b ? 4 , c ? 2 ,??????10 分

3 c sin A 2 ? 21 .??????12 分 ? ∴ sin C ? a 14 2 7 2?
21.解: (I)∵ t ? 4 ,

4( x ? 1) 2 ∴ F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2log a (2 x ? 2) ? log a x ? log a x
1 ? 2) ,??????2 分 x 1 1 1 易证 h( x) ? 4( x ? ? 2) 在 [ ,1] 上单调递减,在 [1, 2] 上单调递增,且 h( ) ? h(2) , x 4 4 1 ∴ h( x)min ? h(1) ? 16 , h( x) max ? h( ) ? 25 ,??????3 分 4 1 ∴当 a ? 1 时, F ( x)min ? loga 16 ,由 log a 16 ? ?2 ,解得 a ? (舍去)??????4 4 ? log a 4( x ?
分 当 0 ? a ? 1 时, F ( x)min ? loga 25 ,由 log a 25 ? ?2 ,解得 a ?

1 .??????5 分 5

综上知实数 a 的值是

1 .??????6 分 5

(II)∵ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 loga x ? 2loga (2x ? t ? 2) 恒成立,

1 log a x ? log a (2 x ? t ? 2) .??????7 分 2 1 又∵ 0 ? a ? 1 , x ? [ , 2] ,∴ x ? 2x ? t ? 2 ,??????8 分 4


t ? ?2x ? x ? 2 ∴恒成立,??????9 分
∴ t ? (?2x ? x ? 2)max .??????10 分 令 y ? ?2 x ?

1 17 1 x ? 2 ? ?2( x ? ) 2 ? ( x ? [ , 2]) , 4 8 4

∴ ymax ? 2 .??????11 分 故实数 t 的取值范围为 [2, ??) .???????12 分 22.解: (I)∵ x ? (0, ??) , f '( x) ? ax ? (a ? 1) ? 令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 (ax ? 1)( x ? 1) ? ,??????2 分 x x

1 或 x ? 1 .??????3 分 a

①若 0 ? a ? 1 ,则 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ;

1 x ? (1, ) 时, f '( x) ? 0 ; a 1 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 , a 1 1 故函数 f ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减.??????4 分 a a
②若 a ? 1 时,则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.??????5 分 ③若 a ? 1 时,则 f ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减.??????6 分 (II)由(I)可知,当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,不妨设 x1 ? x2 ? 1,则有

1 a

1 a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ax12 ? ax22 ,于是要证
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

|f ( x1 ) ? f ( x2 )| 1 ? ,即证 | ax12 ? ax2 2 | 2

1 2 1 ax1 ? ax2 2 , 2 2 1 2 1 2 即证 f ( x1 ) ? ax1 ? f ( x2 ) ? ax2 ,??????8 分 2 2

1 2 ax ? ln x ? (a ? x)( x ? 1) , 2 1 1 ? (a ? 1) x ∵ h '( x) ? ? (a ? 1) ? ,??????10 分 x x
令 h( x ) ? f ( x ) ? ∵ (a ? 1) x ? 2 , 1 ? (a ? 1) x ? 0 , ∴ h( x) 在 (1, ??) 上单调递减,即有 h( x1 ) ? h( x2 ) . 故

|f ( x1 ) ? f ( x2 )| 1 ? .??????12 分 | ax12 ? ax2 2 | 2



热文推荐
友情链接: 简历 面试求职范文 职业规划 自我管理 社交礼仪 76242百科